Question

14．在矩形ABCD中，AB=3，BC=1，E在AB上，AE=2，分别以E、B为圆心，以AE长为半径，画圆弧交DC于F、G，现向矩形ABCD区域内做投针试验，则投中阴影区域的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{2}{5}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 利用扇形面积求法结合锐角三角函数关系得出：∠FEA=∠GBH=30°，进而利用扇形面积求法以及概率公式求出即可．

解答 解：如图所示：过点F作FM⊥AB于点M，GN⊥AB于点N，
∵EF=BG=AE=BH=2，AB=3，BC=1，
∴FM=GN=1，AH=HE=BE=1，
则ME=$\sqrt{3}$，故AM=DF=2-$\sqrt{3}$，
可得：∠FEA=∠GBH=30°，
则S_梯形DAEF=$\frac{1}{2}$（DF+AE）×AD=$\frac{1}{2}$×（2-$\sqrt{3}+$2）×1=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
S_扇形AEF=$\frac{30π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{π}{3}$，
故左上角空白部分面积为：2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{3}$，
同理可得：GC=$\sqrt{3}$，
故S_扇形HBG=$\frac{π}{3}$，S_△GCB=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则阴影部分面积为：3×1-（2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=1，
故投中阴影区域的概率为：$\frac{1}{3}$．
故选：A．

点评 此题主要考查了几何概率以及扇形面积公式等知识，根据题意求出空白面积是解题关键．