Question

19．如图所示，M是梯形ABCD的腰CD的中点，MN⊥AB，垂足为N．求证：S_△ABM=$\frac{1}{2}$_梯形ABCD．

Answer 1

分析 过点M作AB的平行线，交BC于F，交AD的延长线于E；则四边形ABFE是平行四边形，得出四边形ABFE的面积=AB•MN，得出△ABM的面积=$\frac{1}{2}$平行四边形ABFE的面积，由ASA证明△DEM≌△CFM，得出△DEM的面积=△CFM的面积，得出平行四边形ABFE的面积=梯形ABCD的面积，即可得出结论．

解答 解：过点M作AB的平行线，交BC于F，交AD的延长线于E；如图所示：
∵AD∥BC，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴平行四边形ABFE的面积=AB•MN，
∵△ABM的面积=$\frac{1}{2}$AB•MN，
∴△ABM的面积=$\frac{1}{2}$平行四边形ABFE的面积，
∵AD∥BC，
∴∠EDM=∠C，
∵M是梯形ABCD的腰CD的中点，
∴DM=CM，
在△DEM和△CFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDM=∠C}&{\;}\\{DM=CM}&{\;}\\{∠DME=∠CMF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△CFM（ASA），
∴△DEM的面积=△CFM的面积，
∴平行四边形ABFE的面积=梯形ABCD的面积，
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}$_梯形ABCD．

点评 此题考查了梯形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握梯形的性质，通过作辅助线证明平行四边形和全等三角形是解决问题的关键．