Question

9．已知关于x的方程（m²-2m-3）x²-（m+5）x-2=0有正整数根，求m的值．

Answer 1

分析 ①当m²-2m-3≠0时，方程有两个正整数根，说明根的判别式△=b²-4ac≥0，即（m+5）²-4×（m²-2m-3）×（-2）≥0，由此可以求出m的取值范围，然后根据方程有两个正整数根确定m的值，②当m²-2m-3=0时，然后根据方程有两个正整数根确定m的值．

解答 解：∵关于x的方程（m²-2m-3）x²-（m+5）x-2=0有正整数根，
①当m²-2m-3≠0时，
∴△=b²-4ac≥0，即（m+5）²-4×（m²-2m-3）×（-2）≥0，
∴（3m-1）²≥0，
∴m取任意实数，方程（m²-2m-3）x²-（m+5）x-2=0有实数根，
解方程（m²-2m-3）x²-（m+5）x-2=0得：x₁=$\frac{2}{m-3}$，x₂=-$\frac{1}{m+1}$，
∴x₁=$\frac{2}{m-3}$＞0，x₂=-$\frac{1}{m+1}$＞0，
∴m=-2或4或5，
∴当m的值是-2或4或5，使关于x的方程（m²-2m-3）x²-（m+5）x-2=0有正整数根，
②当m²-2m-3=0时，即（m+5）x+2=0有正整数根，
∴m=-3，m=1，
当m=-3，m=1时，2x+2=0或6x+2=0，
解得：x=-1，或x=-$\frac{1}{3}$，均不符合题意，
∴不存在m的值，使关于x的方程（m²-2m-3）x²-（m+5）x-2=0有正整数根．

点评 本题考查的是根的判别式，根据题意利用根与系数的关系以及根的判别式得出是解决问题的关键．