题目内容
2．有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张ABCD绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连结BD、MF，此时他测得AF=2cm，∠ADB=30°．（1）在图1中，直线MF和BD的位置关系为MF⊥BD；
（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°）
①当△AFK为等腰三角形时，请求出旋转角β的度数；
②请直接写出当△AB1D1和△AMF的重叠部分为三角形时旋转角的取值范围，并求出当β=30°时，△AB1D1和△AMF重合部分的面积．
分析 （1）有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），得BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，进而可得∠DNM的大小．
（2）根据旋转的性质得出结论．
（3）先判断出重叠部分是三角形是刚开始旋转到BD刚好过点M，即可根据旋转的性质判断出△AB1M是等边三角形即可得出结论，最后根据含30°的直角三角形的性质即可求出AM，MK用三角形饿面积公式即可得出结论．
解答 解：（1）BD⊥MF．
延长FM交BD于点N，
由题意得：△BAD≌△MAF．
∴BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°．
又∵∠DMN=∠AMF，
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，
∴∠DNM=90°，
∴BD⊥MF．
故答案为：BD⊥MF；
（2）当AK=FK时，∠KAF=∠AFM=30°，
则∠BAB1=180°-∠B1AD1-∠KAF=180°-90°-30°=60°，
即β=60°；
②当AF=FK时，∠FAK=$\frac{180°-∠AFM}{2}$=75°，
∴∠BAB1=90°-∠FAK=15°，
即β=15°；
∴β的度数为60°或15°
（3）如图3，
△ABD在旋转的过程中，刚开始旋转，△AB1D1和△AMF的重叠部分为三角形，此时旋转角β＞0°
BD边旋转到刚好过点M时，重叠部分也是三角形，此时，AM=AB，
在Rt△ABD中，∠ADB=30°，
∴∠ABD=60°，
由旋转知，∠AB1D1=∠ABD=60°，
∴△AB1M为等边三角形，
∴∠B1AM=60°，
∴∠BAB1=30°，即β=30°，
∴0°＜β≤30°，
当β=30°时，△AB1D1和△AMF重合部分是三角形，如图3，△AMK，
∵∠B1AM=60°，
∴∠MAK=30°，
∵∠AMF=60°，
∴∠AKM=90°，
在Rt△AMF中，∠AFM=30°，AF=2，
∴AM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△AMK中，∠MAK=30°，AM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴MK=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AK=$\sqrt{3}$MK=1，
∴S△AMK=$\frac{1}{2}$MK×AK=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
即：当β=30°时，△AB1D1和△AMF重合部分的面积为$\frac{\sqrt{3}}{6}$cm2．
点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积公式，旋转的性质，解本题的关键是掌握旋转的性质的同时要灵活运用．
如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C都在坐标轴上，AO=BO=CO，BC=8．
已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，P、Q分别是DM、BN的中点．
如图所示，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交于BC于D，DE⊥AC于E．