Question

13．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C都在坐标轴上，AO=BO=CO，BC=8．
（1）点A坐标为（0，4）．
（2）过点C作x轴的垂线l，动点P从点C出发，沿着直线l向上运动，若点P的速度是1个单位/秒，时间是t，连接PA、PB，请用含t的式子表示S_△PAB．
（3）在（2）的条件下，连接AP，以AP为斜边，在AP下方作等腰直角△APD，连接BD并延长至点Q，连接PQ、QC，当点D为BQ中点时，请判断△PCQ的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定出OB=OB=OA=4，即可得出结论；
（2）先确定出OA=OB=OC=4，PC=t，再分两种情况利用图形面积的和差计算（用到三角形的面积公式和梯形的面积公式）即可；
（3）先判断出点D是以过点A，C，P的圆的圆心，即可得出点D既在PC的中垂线上，也在AC的中垂线上，再利用中点坐标即可求出点Q的坐标，即可得出结论．

解答 解：（1）∵OB=OC，BC=8，
∴OB=OC=4，
∵OA=OB=4，
∴A（0，4），
故答案为：0，4；
（2）∵OC=4，
∴C（4，0）．
∵PC⊥BC，
∴P（4，t），
∴OA=OB=OC=4，PC=t，
①当0＜t＜8时，如图1，

S_△PAB=S_△AOB+S_梯形AOCP-S_△BCP
=$\frac{1}{2}$OA×OB+$\frac{1}{2}$（OA+PC）×OC-$\frac{1}{2}$BC×PC
=$\frac{1}{2}$×4×4+$\frac{1}{2}$（4+t）×4-$\frac{1}{2}$×8×t
=-2t+16，
②当t＞8时，如图2，

S_△PAB=S_△PBC-S_△AOB-S_梯形AOCP
=$\frac{1}{2}$BC×PC-$\frac{1}{2}$OA×OB-$\frac{1}{2}$（OA+PC）×OC
=$\frac{1}{2}$×8×t-$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$（4+t）×4
=2t-16，
综上所述，S_△PAB=$\left\{\begin{array}{l}{-2t+16（0＜t＜8）}\\{2t-16（t＞8）}\end{array}\right.$，
（3）∴△PCQ是等腰直角三角形；
理由：如图3，

由（2）知，B（-4，0），A（0，4），C（4，0），P（4，t），
∵PC⊥BC
，∴∠OCP=90°，
∵OA=AC，
∴∠ACO=45°，
∵∠ADP=90°，
∴点D是以过点A，C，P的圆的圆心，
∴点D既是AC的中垂线上，也在PC的中垂线上，
∴点D的从纵坐标为$\frac{t}{2}$，
∵OA=OC，
∴AC的中垂线的解析式为y=x，
∴点D在此直线上，
∴D（$\frac{t}{2}$，$\frac{t}{2}$），
∵点D为BQ中点，且B（-4，0），
∴Q（t+4，t），
∵P（4，t），
∴PQ∥BC，PQ=PC=t，
∴∠CPQ=∠OCP=90°，
∴△PCQ是等腰直角三角形．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了圆的性质，中垂线的性质，几何图形的面积，等腰直角三角形的判定，解本题的关键是判断出点D既是AC的中垂线上，也在PC的中垂线上．