Question

12．如图，M，N是正方形ABCD的边BC上两个动点，满足BM=CN，连结AC交DN于点P，连结AM交BP于点Q，若正方形的边长为1，则线段CQ的最小值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 首先证明的Q在以AB为直径的圆上运动，连接OC与⊙O交于点Q′，此时CQ′最小，根据勾股定理即可计算．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∠ACB=∠ACD=45°
在△ABM和△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠ABM=∠DCN}\\{BM=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DCN，
∴∠BAM=∠CDN，
在△CPB和△CPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CP=CP}\\{∠PCB=∠PCD}\\{CB=CD}\end{array}\right.$，
∴△CPD≌△CPB，
∴∠CDP=∠CBP=∠BAM，
∵∠CBP+∠ABP=90°，
∴∠BAM+∠ABP=90°，
∴∠AQB=90°，
∴点Q在以AB为直径的圆的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于点Q′，此时CQ′最小，
∴CQ′=OC-OQ′=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、圆、勾股定理等知识，解题的关键是证明点Q在以AB为直径的圆上运动，找到点Q的位置，题目比较难，属于中考填空题中的压轴题．