Question

2．如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠A=30°，且AB、CE的长是方程x²+bx+c=0的两根，求b、c的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD、DB，根据等腰三角形三线合一的性质得出AD=DC，根据三角形中位线定理得出OD∥BC，由此即可证明OD⊥DE．
（2）先求出AB、EC，再根据一元二次方程的根与系数关系即可解决问题．

解答 （1）证明：连接OD、DB．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵BA=BC，
∴AD=DC，
∵AO=OB
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠A=30°AB=BC=4，∠ADB=90°，
∴BD=2，∠ABD=∠ODB=60°，
∴∠EDB=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD=1，
∴EC=3，
∴AB+CE=4+3=7，AB•CE4×3=12，
∵AB、CE的长是方程x²+bx+c=0的两根，
∴b=-（AB+CE）=-7，c=AB•EC=12．

点评 本题考查切线的判定、等腰三角形的判定和性质、三角形中位线定理，直角三角形30度角性质、一元二次方程的根与系数关系定理等知识，解题的关键是添加辅助线，构造三角形中位线，属于中考常考题型．