Question

7．如图，边长为4的正方形OADB的边OA、OB分别在x轴、y轴上，点C为OA的中点，OF⊥BC于E，交AD于F．
（1）求点F的坐标．
（2）求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）先证明△AOF≌△BOC，得到AF=CO=2，即可解决问题．
（2）求出直线OF、BC的函数解析式，然后解方程组即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=BO=DB=AD=4，∠DAO=∠AOB=∠OBD=∠D=90°，
∵CF⊥BC，
∴∠EBO+∠EOB=90°，∠EOB+∠AOF=90°，
∴∠AOF=∠OBC，
在△AOF和△BOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠COB}\\{AO=BO}\\{∠AOF=∠CBO}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△BOC，
∴AF=CO=AC=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴点F坐标（-4，2）．
（2）设直线OF为y=kx，把点F（-4，2）代入得到2=-4k，k=-$\frac{1}{2}$，
∴直线OF为y=-$\frac{1}{2}$x，
设直线BC为y=k′x+b，把B（0，4），C（-2，0）代入得到$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-2k′+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k′=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线BC为y=2x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{y=2x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{8}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
∴点E坐标（-$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$）．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数等知识，解题关键是求出直线的解析式，通过解方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．