Question

如图1，直线y=-x+4交x轴、y轴于点B、C，点A为x轴正半轴上一点，S_△AOC=

16

5

，CA的延长线交双曲线y=

k

x

（x＞0）于E，且CA=4AE．
（1）求点A的坐标及k的值；
（2）如图2，正方形OMKN的顶点M、N分别在双曲线及线段BC上，求点M、N的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据坐标轴上点的特征可知C（0，4），根据三角形面积公式可得点A的坐标；连结OE，作EM⊥x轴于M，根据等高的三角形面积比等于底之比，根据等底的三角形面积比等于高之比可得

EM

OC

=

1

4

，根据相似三角形的性质可得AM=

2

5

，进一步得到点E的坐标，待定系数法可求k的值；
（2）作ME⊥x轴于E，作NF⊥y轴于F．根据AAS可证△OME≌△ONF，根据全等三角形的性质可得NF=ME，OF=OE．设N（a，-a+4），表示出M（-a+4，-a），代入反比例函数可得关于a的方程，解方程即可求解．

解答：解：（1）∵直线y=-x+4交y轴于点C，
∴C（0，4），
∴OC=4，
∵S_△AOC=

16

5

，
∴OA=

16

5

×2÷4=

8

5

，
∴A（

8

5

，0），
连结OE．
∵

EA

CA

=

1

4

，
∴

S△OAE

S△OAC

=

1

4

，
作EM⊥x轴于M，
∴

EM

OC

=

1

4

，
∴EM=1，得AM=

2

5

，
OM=

8

5

+

2

5

=2，
∴E（2，-1），
∴k=-2；

（2）作ME⊥x轴于E，作NF⊥y轴于F．
∵∠FON+∠NOE=∠NOE+∠MOE，
∴∠FON=∠MOE，
在△OME与△ONF中，

∠OFN=∠OEM=90° ∠FON=∠MOE ON=OM

∴△OME≌△ONF（AAS），
∴NF=ME，OF=OE．
设N（a，-a+4），
∴FN=a=ME，OF=-a+4=OE，
∴M（-a+4，-a），
∴（-a+4）（-a）=-2，解得：a₁=2+

2

，a₂=2-

2

，
∴M（2-

2

，2+

2

），N（-2-

2

，2-

2

）或M（2+

2

，-2+

2

），N（2-

2

，2+

2

）．

点评：考查了反比例函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的特征，三角形面积公式，等高的三角形面积比等于底之比，等底的三角形面积比等于高之比，相似三角形的性质，待定系数法求函数解析式；全等三角形的判定和性质，方程思想的应用．