题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，已知A，B是抛物线y=ax2（a＞0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限．
（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A，B两点的横坐标的乘积；
（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，求证：A、B两点横坐标的乘积是一个定值；
（3）在（2）的条件下，如果直线AB与x轴、y轴分别交于点P、D，且点B的横坐标为 
．那么在x轴上是否存在一点Q，使△QDP为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）解：如图1，
作BE⊥x轴，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴BE=OE= 
AB=1，
∴A（﹣1，1），B（1，1），
∴A，B两点的横坐标的乘积为﹣1×1=﹣1，
∵抛物线y=ax2（a＞0）过A，B，
∴a=1，
∴抛物线y=x2，
（2）解：如图2，
作BN⊥x轴，作AM⊥x轴，
∴∠AOB=AMO=∠BNO=90°，
∴∠MAO=∠BON，
∴△AMO∽△ONB，
∴ 
，
∴AM×BN=OM×ON，
设A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，
∴AM=y1=x12，BN=y2=x22，OM=﹣x1，ON=x2，
∴x12×x22=﹣x1×x2，
∴x1×x2=﹣1，
∴A，B两点横坐标的乘积是一个定值；
（3）解：由（2）得，A，B两点横坐标的乘积是一个定值为﹣1，
∵点B的横坐标为 ，
∴点A的横坐标为﹣2，
∵A，B在抛物线上，
∴A（﹣2，4），B（ ， 
），
∴直线AB解析式为y=﹣ 
x+1，
∴P（ 
，0），D（0，1）
设Q（n，0），
∴DP2= 
，PQ2=（n﹣ ）2，DQ2=n2+1
∵△QDP为等腰三角形，
∴①DP=PQ，
∴DP2=PQ2，
∴ =（n﹣ ）2，
∴n= 
，
∴Q1（ 
，0），Q2（ 
，0）
②DP=DQ，
∴DP2=DQ2，
∴ =n2+1，
∴n= （舍）或n=﹣ ，
Q3（﹣ ，0）
③PQ=DQ，
∴PQ2=DQ2，
∴（n﹣ ）2=n2+1
∴n=﹣ 
，
∴Q4（﹣ ，0），
∴存在点Q坐标为Q1（ ，0），Q2（ ，0），Q3（﹣ ，0），Q4（﹣ ，0），
【解析】（1）利用抛物线性质及待定系数法可求出解析式及横坐标乘积；（2）通过“作BN⊥x轴，作AM⊥x轴”构造相似三角形，即△AMO∽△ONB，对应边成比例，转化为乘积式，A，B两点横坐标的乘积是一个定值；（3）利用（2）的结论求出A、B坐标，若△QDP为等腰三角形，须分类讨论，即①DP=PQ②DP=DQ③PQ=DQ，分别求出Q坐标.
