题目内容

【题目】在正方形ABCD中,连接BD.
(1)如图1,AE⊥BD于E.直接写出∠BAE的度数.

(2)如图1,在(1)的条件下,将△AEB以A旋转中心,沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′,AB′与BD交于M,AE′的延长线与BD交于N.
①依题意补全图1;
②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系,并证明.
(3)如图2,E、F是边BC、CD上的点,△CEF周长是正方形ABCD周长的一半,AE、AF分别与BD交于M、N,写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路.(不必写出完整推理过程)

【答案】
(1)解:∵BD是正方形ABCD的对角线,

∴∠ABD=∠ADB=45°,

∵AE⊥BD,

∴∠ABE=∠BAE=45°,


(2)解:①依题意补全图形,如图1所示,

②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2

将△AND绕点D顺时针旋转90°,得到△AFB,

∴∠ADB=∠FBA,∠BAF=∠DAN,DN=BF,AF=AN,

∵在正方形ABCD中,AE⊥BD,

∴∠ADB=∠ABD=45°,

∴∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°,

在Rt△BFM中,根据勾股定理得,FB2+BM2=FM2

∵旋转△ANE得到AB1E1

∴∠E1AB1=45°,

∴∠BAB1+∠DAN=90°﹣45°=45°,

∵∠BAF=DAN,

∴∠BAB1+∠BAF=45°,

∴∠FAM=45°,

∴∠FAM=∠E1AB1

∵AM=AM,AF=AN,

∴△AFM≌△ANM,

∴FM=MN,

∵FB2+BM2=FM2

∴DN2+BM2=MN2


(3)解:如图2,

将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,

∴DF=GB,

∵正方形ABCD的周长为4AB,

△CEF周长为EF+EC+CF,

∵△CEF周长是正方形ABCD周长的一半,

∴4AB=2(EF+EC+CF),

∴2AB=EF+EC+CF

∵EC=AB﹣BE,CF=AB﹣DF,

∴2AB=EF+AB﹣BE+AB﹣DF,

∴EF=DF+BE,

∵DF=GB,

∴EF=GB+BE=GE,

由旋转得到AD=AG=AB,

∵AM=AM,

∴△AEG≌△AEF,

∠EAG=∠EAF=45°,

和(2)的②一样,得到DN2+BM2=MN2


【解析】(1)利用正方形性质和等腰直角三角形性质可求出;(2)通过旋转构造全等三角形,即△AND全等于△AFB, 进而∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°,得到△AFM≌△ANM,转化FM=MN,进而得出三边之间的勾股关系; (3)借鉴(2)的思路方法,仍可采用旋转法,构造全等三角形△ADF△ABG,进一步△AEG≌△AEF,得出三边之间的关系.
【考点精析】关于本题考查的勾股定理的概念,需要了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案.

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