Question

13．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD切⊙O于点D，且∠ABD=2∠BDC．
（1）求∠A的度数；
（2）过点O作OF∥AD，分别交BD，CD于点E、F，若0E=$\sqrt{3}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，利用圆周角定理得∠A+∠ABD=90°，再由切线的性质得∠ODC=90°，即∠ODB+∠BDC=90°，加上∠ODB=∠OBD，则∠A=∠BDC，则∠ABD=2∠A，然后利用互余可计算出∠A的度数；
（2）根据平行线的性质得到∠OEB=∠ADB=90°，∠BOE=∠A=30°，然后在Rt△BOE中利用余弦的定义可求出OB．

解答 解：（1）连结OD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵CD为切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，即∠ODB+∠BDC=90°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD+∠BDC=90°，
∴∠A=∠BDC，
∵∠ABD=2∠BDC，
∴∠ABD=2∠A，
∴∠A+2∠A=90°，
∴∠A=30°；
（2）∵OE∥AD，
∴∠OEB=∠ADB=90°，∠BOE=∠A=30°，
在Rt△BOE中，∵cos∠BOE=$\frac{OE}{OB}$，
∴OB=$\frac{\sqrt{3}}{cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
即⊙O的半径为2．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决（1）小题的关键是证明∠A=∠BDC．