Question

2．如图所示，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O外一点，PB切⊙P于B，PA交⊙O于点C，且AC=BC，PD⊥AB于D，E是AB的中点，求证：PB=2DE．

Answer 1

分析 连接EC，根据等腰三角形三线合一的性质得出CE⊥AB，即可证得CE∥PD，根据平行线分相等成比例定理得出$\frac{AE}{DE}$=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{BC}{PC}$，然后证得△BPC∽△APB，得出$\frac{BC}{PC}$=$\frac{AB}{PB}$，即可得出$\frac{AE}{DE}$=$\frac{AB}{PB}$，根据AB=2AE，即可证得结论．

解答 证明：连接EC，
∵AC=BC，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，
∵PD⊥AB，
∴CE∥PD，
∴$\frac{AE}{DE}$=$\frac{AC}{PC}$，
∴$\frac{AE}{DE}$=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{BC}{PC}$，
∵PB切⊙P于B，
∴∠PBC=∠A，
∵∠BPC=∠APB，
∴△BPC∽△APB，
∴$\frac{BC}{PC}$=$\frac{AB}{PB}$，
∴$\frac{AE}{DE}$=$\frac{AB}{PB}$，
∵AB=2AE，
∴PB=2DE．

点评 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，作出辅助线构，证得平行线是解题的关键．