Question

19．已知x²-3x+1=0，则$\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-2}$=（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据解方程，可得x的值，根据实数的运算，可得答案．

解答 解：x²-3x+1=0解得x=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
$\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-2}$=$\sqrt{（x+\frac{1}{x}）^{2}}$=|x+$\frac{1}{x}$|，
当x=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$时，原式=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$+$\frac{2}{3+\sqrt{5}}$=$\frac{6+2\sqrt{5}}{4}$+$\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$=3，
当x=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$时，原式=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$+$\frac{2}{3-\sqrt{5}}$=$\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$+$\frac{6+2\sqrt{5}}{4}$=3．
故选：A．

点评 本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的性质：$\sqrt{{a}^{2}}$=a  （a≥0），分类讨论是解题关键，以防遗漏．