Question

15．如图，△ABC中，∠B=90°，tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，半径为2的⊙O从点A开始（图1），沿AB向右滚动，滚动时始终与AB相切（切点为D）；当圆心O落在AC上时滚动停止，此时⊙O与BC相切于点E（图2）．作OG⊥AC于点G．
（1）利用图2，求cos∠BAC的值；
（2）当点D与点A重合时（如图1），求OG；
（3）如图3，在⊙O滚动过程中，设AD=x，请用含x的代数式表示OG，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）连接OD，如图2所示，由圆O与AB相切，得到OD与AB垂直，根据tan∠BAC与OD的值，求出AD与OA的长，即可确定出cos∠BAC的值；
（2）如图1所示，连接OA，由圆O与AB相切，得到OA与AB垂直，再由OG垂直于AC，得到∠AOG与∠OAG互余，利用锐角三角函数定义求出OG的长即可；
（3）如图3所示，连接OD交AC于点F，由圆O与AB相切，得到OD与AB相切，利用切线的性质得到OD与AB垂直，根据OG与AC垂直，利用同角的余角相等得到∠FOG与∠BAC相等，利用锐角三角函数定义用x表示出OG，并求出x的范围即可．

解答 解：（1）如图2，连接OD，
∵⊙O与AB相切，
∴OD⊥AB，
∵tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，OD=2，
∴AD=4，OA=2$\sqrt{5}$，
∴cos∠BAC=$\frac{AD}{OA}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）如图1，连接OA，
∵⊙O与AB相切，
∴OA⊥AB，
又∵OG⊥AC，
∴∠AOG=∠BAC=90°-∠OAG，
∵cos∠AOG=$\frac{OG}{OA}$，
∴OG=OA•cos∠AOG=2×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$；
（3）如图3，连接OD交AC于点F，
∵⊙O与AB相切，
∴OD⊥AB，
∴∠FOG=90°-∠OFG，
又∵OG⊥AC，
∴∠BAC=90°-∠AFD，
又∵∠FOG=∠AFD，
∴∠FOG=∠BAC，
∵tan∠BAC=$\frac{FD}{AD}$，
∴FD=AD•tan∠BAC=$\frac{1}{2}$x，
∴OF=2-$\frac{1}{2}$x，
∵cos∠BAC=cos∠FOG=$\frac{OG}{OF}$，
∴OG=OF•cos∠FOG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（2-$\frac{1}{2}$x）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$x+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，x的取值范围是：0≤x≤4．

点评 此题属于圆综合题，涉及的知识有：切线的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．