Question

16．如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H．
（1）证明：DG²=FG•BG；
（2）若AB=5，BC=6，求三角形△DGH与△CAE面积之比．

Answer 1

分析 （1）由已知可证得△ADG∽△EBG，△AGF∽△EGD，根据相似三角形的对应边成比例即可得到DG²=FG•BG；
（2）连接BH，记△DGH的面积为s由四边形ACED是平行四边形得到AD=CE/DH=CH，由AD∥BE得$\frac{AD}{BE}$=$\frac{DG}{BG}$=$\frac{1}{2}$，用s表示△BGH，△BDH，△BDC，△ACE的面积即可解决问题．

解答 （1）证明：∵ABCD是矩形，且AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG，
∴$\frac{DG}{BG}$=$\frac{AG}{GE}$，
又∵△AGF∽△DGE，
∴$\frac{AG}{GE}$=$\frac{FG}{DG}$，
∴$\frac{DG}{BG}$=$\frac{FG}{DG}$，
∴DG²=FG•BG；
（2）解：如图，连接BH．
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AD=CE，DH=HC，AD∥BE，S_△ADC=S_△DCB=S_△ACE
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC=CE，S_△ADC=S_△DCE，记△DGH的面积为s，
∵AD∥BE，
∴$\frac{AD}{BE}$=$\frac{DG}{BG}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△BGH=2s，S_△BDH=3s，∴S_△ACE=S_△BCD=6s，
∴$\frac{{S}_{△DGH}}{{S}_{△ACE}}$=$\frac{s}{6s}$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，第二个问题的关键是记△GDH的面积为s，想办法用s表示△ACE的面积，属于中考常考题型．