Question

5．在矩形ABCD中，点M、N分别在AD、BC上，将矩形沿着MN折叠（点A的对称点为E，点B的对称点为F），点E在CD上，过点E作EG∥AD，交MN于点G．
（1）如图1，求证：△EMG是等腰三角形；
（2）如图2，若AD=2DE，求∠MEG的正切值；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接AG、BG，若△ABG的面积为$\frac{15}{12}$，AB=AM，求NG的长．

Answer 1

分析 （1）运用平行线的性质和折叠的性质即可证明；
（2）设DE=x，DM=r，根据题意用x表示r即可求解；
（3）过点M作MK⊥EG，过点G作GL⊥NC，延长EG交AB于点H，用含有x的代数式表示△ABG的面积，进而求出x的值，证明△MGK∽△GNL即可求解．

解答 解：（1）如图1

∵EG∥AD，
∴∠AMN=∠MGE，
∵∠AMN=∠EMG，
∴∠MGE=∠EMG，
∴△EMG是等腰三角形；
（2）如图2

设DE=x，DM=r，则有AD=2x，ME=AM=2x-r，
在直角三角形MDE中，MD²+DE²=ME²，
r²+x²=（2x-r）²，
解得：r=$\frac{3}{4}x$，
∴DM=$\frac{3}{4}x$，ME=$\frac{5}{4}x$，
∵EG∥AD，
∴tan∠MEG=tan∠DME=$\frac{DE}{DM}$=$\frac{4}{3}$，
（3）如图3


由（1）知，EM=EG，
又∵AM=EM，
∴AM=EG，
∵AM∥EG，
所以可证四边形AMEG是菱形，
由（2）知，AM=EM=EG=$\frac{5}{4}x$，
∴AB=AM=$\frac{5}{4}x$，
过点M作MK⊥EG，过点G作GL⊥NC，延长EG交AB于点H，
易证四边形MKED和四边形CEGL是矩形，GH⊥AB，
∴MK=DE=x，GL=AB-MK=$\frac{1}{4}x$
∴GK=$\frac{1}{2}x$，GH=2x-$\frac{5}{4}x$=$\frac{3}{4}x$，
由△ABG的面积为$\frac{15}{12}$可得：$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{4}x$×$\frac{3}{4}x$=$\frac{15}{12}$，
解得：x=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
在直角三角形MKG中，MG=$\sqrt{M{K}^{2}+G{K}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，
∵GE∥CN，
∴∠MGK=∠GNL，
∵∠GLN=∠MKG=90°，
∴△MGK∽△GNL，
∴$\frac{MG}{GN}=\frac{MK}{GL}=\frac{4}{1}$，
∴GN=$\frac{1}{4}$×$\frac{\sqrt{5}}{2}$x=$\frac{\sqrt{5}}{8}×$$\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{30}}{12}$．

点评 此题主要考查几何变换中的翻折，会熟练运用翻折的性质确定相等的线段和角，会运用勾股定理建立等量关系求解线段，会运用相似建立关系求线段长度是解题的关键．