如图.双曲线y=$\frac{k}{x}$与直线y=-$\frac{1}{2}$x+4相交于A.B两点．(1)当k=6时.求点A.B的坐标,(2)在双曲线y=$\frac{k}{x}$的同一支上有三点M(x1.y1).N(x2.y2).P($\frac{{x} {1}+{x} {2}}{2}$.y0).请你借助图象.直接写出y0与$\frac{{y} {1}+{y} {2}}{2}$的大小� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．

如图，双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）与直线y=-$\frac{1}{2}$x+4相交于A，B两点．
（1）当k=6时，求点A，B的坐标；
（2）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的同一支上有三点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀），请你借助图象，直接写出y₀与$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$的大小关系．

分析（1）将y=$\frac{6}{x}$与y=-$\frac{1}{2}$x+4联立，组成方程组，解方程组即可求解；
（2）根据中点坐标的意义，可知（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）是线段MN的中点，结合图象，分两种情况进行讨论：①点M、N、P都在第一象限；②点M、N、P都在第三象限．

解答解：（1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{x}}\\{y=-\frac{1}{2}x+4}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=6}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
所以点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（6，1）；

（2）∵在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的同一支上有三点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀），
而（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）是线段MN的中点，
∴可分两种情况进行讨论：
①如果点M、N、P都在第一象限，那么y₀＜$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$；
②如果点M、N、P都在第三象限，那么y₀＞$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$．