Question

已知正方形ABCD中，Q是CD上一点，BQ交AC于点E，EF⊥BQ交AD于点F，连接FQ、BF，若AB=2，则△DFQ周长为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：连接DE，延长DA至G，使得AG=CQ，连接BG，证出△BAE≌△DAE，推出BE=DE，∠ADE=∠ABE，求出△FEB是等腰直角三角形，推出∠EBF=45°，证出△GAB≌△QCB，推出BG=BQ；∠ABG=∠CBQ，求出∠GBF=∠QBF，证△GBF≌△QBF，推出QF=GF=AG+AF=CQ+AF，求出△DFQ周长=DF+DQ+QF=2AB=4即可．

解答：
解：如图所示，连接DE，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD；∠BAE=∠DAE=45°，∠BAD=90°
在△BAE和△DAE中，

AB=AD ∠BAE=∠DAE AE=AE

，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴BE=DE，∠ADE=∠ABE，
∵EF⊥BQ，
∴∠FEB=∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠AFE=180°，
∵∠AFE+∠DFE=180°，
∴∠DFE=∠ABE=∠ADE，
∴EF=DE，
∵DE=BE，
∴EF=BE，
即△FEB是等腰直角三角形，
∴∠EBF=45°，
∴∠ABF+∠CBQ=45°，
延长DA至G，使得AG=CQ，
在△GAB和△QCB中

AB=BC ∠GAB=∠QCB=90° AG=CQ

∴△GAB≌△QCB（SAS），
∴BG=BQ；∠ABG=∠CBQ，
∴∠GBF=∠ABG+∠ABF=∠ABF+∠CBQ=45°=∠QBF，
在△GBF和△QBF中

BF=BF ∠GBF=∠QBF BG=BQ

∴△GBF≌△QBF（SAS），
∴QF=GF=AG+AF=CQ+AF，
∴△DFQ周长=DF+DQ+QF=DF+DQ+AF+CQ=AD+DC=2AB=4，
故答案为：4．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，题目比较好，综合性比较强．