Question

当m为何值时，方程x²-（m+1）x+m=0的两根分别满足：
（1）都是正根；
（2）两根异号，且负根的绝对值大；
（3）两根都大于-1；
（4）两根一个大于-1，另一个小于-1．

Answer 1

考点：一元二次方程根的分布

专题：

分析：（1）利用根与系数的关系以及根的判别式得出关于m的不等式组：

m+1＞0 m＞0

，进而求出即可；
（2）利用根与系数的关系以及根的判别式得出关于m的不等式组

m-1≠0 m+1＞0 m＞0

，进而求出即可；
（3）构建函数f（x）=x²-（m+1）x+m，结合二次函数图象，△≥0，对称轴大于-1，f （-1）＞0，解得m的范围即可．
（4）构建函数f（x）=x²-（m+1）x+m，利用方程x²-（m+1）x+m=0一个根大于-1，一个根小于-1，可得f（-1）＜0，从而可求实数m的取值范围．

解答：解：△=（m+1）²-4m=（m-1）²≥0，
（1）设方程x²-（m+1）x+m=0有两根x₁，x₂，
由一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式可得：

m+1＞0 m＞0

，
解得m＞0；
（2）设方程x²-（m+1）x+m=0有两根x₁，x₂，
由一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式可得：

m-1≠0 m+1＜0 m＜0

，
解得m＜-1；
（3）设方程x²-（m+1）x+m=0有两根x₁，x₂，
由一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式可得：

m+1 2 ＞+1 2m+2＞0

，
解得m＞-1；
（4）设方程x²-（m+1）x+m=0有两根x₁，x₂，
由一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式可得：

m-1≠0 2m+2＜0

，
解得m＜-1．

点评：本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式等知识，其中由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）结合已知，构造出关于m的不等式组是解答本题的关键．