Question

如图是二次函数y=（x-2）²的图象，点A、B、C是抛物线上3个点，且△ABC为直角三角形，CD⊥AB，则高CD应该满足（　　）

• A、CD=1
• B、1＜CD＜2
• C、CD=2
• D、随着A点变化而变化

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：根据抛物线解析式求出对称轴，再设点A（a，（a-2）²），B（（4-a），（a-2）²），点C（c，（c-2）²），然后判断出点D的坐标，再设出直线AC、BC的解析式，然后把点A、B、C的坐标代入表示出两直线解析式的k值，然后根据两直线互相垂直，k值的乘积为-1用a表示出c，再求出（c-2）²，即可得解．

解答：解：∵二次函数解析式为y=（x-2）²，
∴对称轴为直线x=2，
由图可知，AB∥x轴，
所以，设点A（a，（a-2）²），则B（（4-a），（a-2）²），
设点C（c，（c-2）²），
∵CD⊥AB，
∴D（c，（a-2）²），
设直线AC、BC的解析式分别为y=k₁x+b₁，y=k₂x+b₂，
将A、B、C的坐标分别代入得

(a-2)2=ak1+b1 (c-2)2=ck1+b1

，

(a-2)2=(4-a)k2+b2 (c-2)2=ck2+b2

，
所以，k₁=a+c-4，
k₂=c-a，
∵CD⊥AB，
∴k₁•k₂=（a+c-4）（c-a）=-1，
整理得，c²-4c-a²+4a+1=0，
∴（a-2）²-（c-2）²=1，
∴CD=1，
故高CD应该满足CD=1．
故选A．

点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，两互相垂直的直线解析式的k值的关系．