Question

已知抛物线y=ax²+bx+c过第一、二、四象限（不经过原点）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）确定a，b，c的符号；
（2）若∠CAO=45°，∠CBO=30°，求证：ac=

3

3

；
（3）若∠CAO=45°，∠CBO=30°，且AB=3-

3

，求抛物线的解析式．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题

分析：（1）根据二次函数与系数a、b、c的关系求解；
（2）先确定C点坐标得到OC=c，在Rt△OAC中，由于∠CAO=45°，根据等腰直角三角形的性质得OA=OC=c，则A点坐标为（c，0），在Rt△BOC中，由于∠CBO=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到OB=

3

OC=

3

c，则B点坐标为（

3

c，0），然后利用交点式得到抛物线解析式为y=a（x-c）（x-

3

c），展开得y=ax²-（1+

3

）ac+

3

ac²，与原解析式对比即可得到

3

ac²=c，所以ac=

3

3

；
（3）由（2）得到A点坐标为（c，0），B点坐标为（

3

c，0），则

3

c-c=3-

3

，解得c=

3

，再利用ac=

3

3

得到a=

1

3

，然后把a和c的值代入y=ax²-（1+

3

）ac+

3

ac²中化简即可．

解答：（1）解：∵抛物线y=ax²+bx+c过第一、二、四象限（不经过原点），
∴a＞0，b＜0，c＞0；
（2）证明：C点坐标为（0，c），
在Rt△OAC中，∵∠CAO=45°，
∴OA=OC=c，
∴A点坐标为（c，0），
在Rt△BOC中，∠CBO=30°，
∴OB=

3

OC=

3

c，
∴B点坐标为（

3

c，0），
∴抛物线解析式为y=a（x-c）（x-

3

c）
=ax²-（1+

3

）ac+

3

ac²，
∴

3

ac²=c，
∴ac=

3

3

；
（3）解：∵A点坐标为（c，0），B点坐标为（

3

c，0），
∴

3

c-c=3-

3

，
∴c=

3

，
而ac=

3

3

，
∴a=

1

3

，
∴y=

1

3

x²-（1+

3

）•

3

3

x+

3

=

1

3

x²-

3+ 3

3

•x+

3

．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．