Question

20．如图所示，二次函数y₁=-x²+nx+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C（0，3）．
（1）求二次函数解析式，并写出顶点坐标；
（2）令直线BC的解析式为y₂，分析并观察图象，直接写出当y₁＜y₂时，x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把A点和C点坐标分别代入y₁=-x²+nx+m中得到关于m、n的方程组，然后解方程组求出m和n的值即可得到二次函数解析式，再把解析式配成顶点式得到顶点坐标；
（2）根据抛物线与x轴的交点问题求出B点坐标，然后观察函数图象，写出直线BC在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．

解答 解：（1）把A（3，0），C（0，3）分别代入y₁=-x²+nx+m得$\left\{\begin{array}{l}{-9+3n+m=0}\\{m=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{n=2}\\{m=3}\end{array}\right.$，
所以二次函数解析式为y₁=-x²+2x+3；
因为y₁=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
所以二次函数图象的顶点坐标为（1，4）；
（2）当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则B（-1，0），
所以当x＜-1或x＞0时，y₁＜y₂．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系：△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．