题目内容
12．
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）．（1）求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线y=kx+b经过点D和点E（-1，-2），求直线DE的表达式；
（3）在（2）的条件下，已知点P（t，0），过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴下方，直接写出t的取值范围．
分析 （1）把A点坐标代入可求得m的值，可求得抛物线的表达式，令y=0可求得B、C两点的坐标；
（2）由（1）可求得抛物线的对称轴，可求得D点坐标，再利用待定系数法可求得直线DE的表达式；
（3）由条件可知当直线和抛物线的图象不能都在x轴上方，结合直线和抛物线的图象可求得t的范围．
解答 解：（1）∵抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），
∴m+4=3．
∴m=-1．
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3．
∵抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点B，C，
∴令y=0，即-x2+2x+3=0．
解得 x1=-1，x2=3．
又∵点B在点C左侧，
∴点B的坐标为（-1，0），点C的坐标为（3，0）；
（2）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1．
∵抛物线的对称轴与x轴交于点D，
∴点D的坐标为（1，0）．
∵直线y=kx+b经过点D（1，0）和点E（-1，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}k+b=0\\-k+b=-2.\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=-1.\end{array}\right.$
∴直线DE的表达式为y=x-1；
（3）如图，当P点在D、B两点之间时，M、N都在x轴上方，
∴点M、N至少有一个点在x轴下方的t的范围为：t＜1或t＞3．
点评 本题主要考查二次函数与一次函数的综合，在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D点坐标是解题的关键，在（3）中注意数形结合思想的应用．
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3．
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如图，已知点A（-1，2），将线段OA绕O点顺时针方向旋转90°后，得到线段OA′，则点A′的坐标是（ ）| A． | （-3，-2） | B． | （2，2） | C． | （3，0） | D． | （2，1） |
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