Question

15．如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过$\frac{5\sqrt{3}+12}{80}$小时可到达居民点B．（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）

Answer 1

分析 要求所用行车时间最短，就要计算好行驶的路线，可以设在公路上行驶x千米，根据题意，找出可以运用勾股定理的直角三角形，运用勾股定理求解．

解答 解：如图所示，公路上行驶的路线是AD，草地上行驶的路线是DB，设AD的路程为x千米，
由已知条件AB=13千米，BC=5千米，BC⊥AC，知
AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=12千米．
则CD=AC-AD=（12-x）千米，
BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（12-x）^{2}+{5}^{2}}$km，
设走的行驶时间为y，则
y=$\frac{x}{80}$+$\frac{\sqrt{（12-x）^{2}+25}}{40}$．
整理为关于x的一元二次方程得
3x²+（160y-96）x-6400y²+676=0．
因为x必定存在，所以△≥0．即
（160y-96）²-4×3×（676-6400y²）≥0．
化简得3400y²-6400y+23≥0．
解得y≥$\frac{5\sqrt{3}+12}{80}$．
故答案为：$\frac{5\sqrt{3}+12}{80}$．

点评 本题考查的是在直角三角形中勾股定理的运用，画出图形构建直角三角形是关键，根据一元二次不等式的求解，可以计算出解的最小值，以便求出最短路程．