Question

9．在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（3，0），（0，1）．点D是边BC上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线y=-$\frac{1}{2}$x+b交边OA于点E．
（Ⅰ）如图①，求点D和点E的坐标（用含b的式子表示）；
（Ⅱ）如图②，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O₁A₁B₁C₁，试探究矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由；
（Ⅲ）矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形，请直接写出这个菱形的面积的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出点D纵坐标为1，点E的纵坐标为0，代入解析式即可；
（2）如图根据菱形的性质和勾股定理从而得出结论；
（3）分两种情况得出菱形面积的最大和最小值．

解答 解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴CB∥x轴，
由点A，C的坐标分别为（3，0），（0，1）．
可得点D的纵坐标为1，
当y=1时，y=$-\frac{1}{2}x$+b，
解得：x=2b-2，
∴D的坐标为（2b-2，1）
当y=0时，y=$-\frac{1}{2}x$+b，
解得：x=2b，
∴E的坐标为（2b，0）
（Ⅱ）CB与O₁A₁的交点为M，C₁B₁与OA的交点为N，如图：

∵四边形OABC，四边形O₁A₁B₁C₁是矩形，
∴CB∥OA，C₁B₁∥O₁A₁，
∴四边形DMEN是平行四边形，
∵矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O₁A₁B₁C₁，
∴∠1=∠2，
∵CB∥OA，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴DM=ME，
∴平行四边形DMEN是菱形，
过点D作DH⊥OA于点H，
由D（2b-2，1），E（2b，0），
可知CD=2b-2，OE=2b，OH=CD=2b-2，
∴EH=OE-OH=2b-（2b-2）=2，
设菱形DMEN的边长为m，
在Rt△DHN中，DH=1，HN=EH-NE=2-m，DN=m，
由DH²+HN²=DN²，得1²+（2-m）²=m²，
解得：m=$\frac{5}{4}$，
∴${S}_{菱形DMEN}=NE•DH=\frac{5}{4}×1=\frac{5}{4}$，
所以重叠部分菱形DMEN的面积不变，为$\frac{5}{4}$；
（Ⅲ）当NE=1时，菱形面积的最小值是1；
当NE=$\frac{5}{3}$时，菱形面积的最大值是$\frac{5}{3}$．（D与C重合，A与E重合，设DN=AN=x，在Rt△DNO中利用勾股定理列出方程计算）

点评 本题考查了一次函数的性质，关键是根据点在函数图象上，点的坐标满足函数的解析式．也利用了菱形的特点．