Question

10．已知点P是反比例函数y=$\frac{4}{x}$图象上的一个动点，在y轴上取点Q，使得△OPQ为等腰直角三角形，则符合条件的Q点的坐标为（0，2）、（0，-2）、（0，4）或（0，-4）．

Answer 1

分析 根据题意，分两种情况：（1）当∠AQP=90°时；（2）当∠APQ=90°时；根据△OPQ为等腰直角三角形，判断出符合条件的所有Q点的坐标有哪些即可．

解答 解：（1）当∠AQP=90°时，
∵△OPQ为等腰直角三角形，
∴OQ=PQ，
∴点P（a，b）的横坐标、纵坐标相等，
∴a=b，ab=4，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴Q点的坐标为（0，2）或（0，-2）．
（2）当∠APQ=90°时，
∵△OPQ为等腰直角三角形，
∴OP=PQ，
∴点P（a，b）的横坐标、纵坐标相等，
∴a=b，ab=4，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴OP=$\sqrt{{2}^{2}{+2}^{2}}=2\sqrt{2}$，PQ=2$\sqrt{2}$，
∵△OPQ为等腰直角三角形，
∴OQ=2$\sqrt{2}×\sqrt{2}$=4，
∴Q点的坐标为（0，4）或（0，-4）．
综上，可得符合条件的Q点的坐标为：（0，2）、（0，-2）、（0，4）或（0，-4）．
故答案为：（0，2）、（0，-2）、（0，4）或（0，-4）．

点评 （1）此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
（2）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径．