题目内容

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=1，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为
 
．
考点：轴对称-最短路线问题,等腰直角三角形
专题：
分析：首先确定DC′=DP+PC′=DP+CP的值最小，然后根据勾股定理计算．
解答：解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，
此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．
∵BD=1，DC=2，
∴BC=3，
连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，
∴BC=BC′=3，
根据勾股定理可得DC′=
BC′2+BD2
=
32+12
=
10
．
故答案为：
10
．
点评：此题考查了线路最短的问题，确定动点E何位置时，使PC+PD的值最小是关键．
练习册系列答案
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把经过点（-1，1）和（1，3）的直线向右移动2个单位后过点（3，a），则a的值为（　　）
A、1B、2C、3D、4
阅读下面材料：
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，再连接BE，相当于把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，即可得到AD的取值范围．请你写出AD的取值范围
 
；
小明小组的感悟：解题时，可以通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
请你解决以下问题：
（1）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，ED⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；
②若∠A=90°，请直接写出线段BE、CF、EF之间的数量关系为
 
．
（2）如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设
CD
、
CE
的长分别为x、y，线段ED的长为z，则z（x+y）的值为
 
．
如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=1，DB=2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于（　　）
A、
1
2
B、
1
4
C、
1
8
D、1：9
某商场出售一种成本为20元的商品，市场调查发现，该商品每天的销售量w（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：w=-2x+80．设这种商品的销售利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在不亏本的前提下，销售价在什么范围内每天的销售利润随售价增加而增大？最大利润是多少？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？
【问题情境】
徐老师给爱好学习的小敏和小捷提出这样一个问题：
如图1，△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AB+BD=AC
小敏的证明思路是：在AC上截取AE=AB，连接DE．（如图2）…
小捷的证明思路是：延长CB至点E，使BE=AB，连接AE． 可以证得：AE=DE（如图3）…
请你任意选择一种思路继续完成下一步的证明．
【变式探究】
“AD是∠BAC的平分线”改成“AD是BC边上的高”，其它条件不变．（如图4），AB+BD=AC成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出你的正确结论，并说明理由．
【迁移拓展】
△ABC中，∠B=2∠C． 求证：AC2=AB2+AB•BC． （如图5）
如图，在△ABC中，D为AB边上一点，∠B=∠ACD，若AD=4，BD=3，求AC的长．
如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD比∠BOD大60°，求∠AOD与∠BOD的大小．

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