题目内容
阅读下面材料：
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，再连接BE，相当于把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，即可得到AD的取值范围．请你写出AD的取值范围 ；
小明小组的感悟：解题时，可以通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
请你解决以下问题：
（1）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，ED⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；
②若∠A=90°，请直接写出线段BE、CF、EF之间的数量关系为 ．
（2）如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，再连接BE，相当于把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，即可得到AD的取值范围．请你写出AD的取值范围
小明小组的感悟：解题时，可以通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
请你解决以下问题：
（1）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，ED⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；
②若∠A=90°，请直接写出线段BE、CF、EF之间的数量关系为
（2）如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
考点：全等三角形的判定与性质,三角形三边关系
专题：
分析：利用三角形全等可以得出AD=AE，由三角形的三边关系建立不等式就可以得出结论；
（1）①如图2，延长ED到点G使DG=ED，连结GF，GC，就有EF=GF，连结FG、CG，可证△BED≌△CDG，则CG=BE，由三角形的三边关系就可以得出结论；
②如图2，由∠A=90°就可以得出∠A+∠ACB=90°，就可以得出∠FCG=90°由勾股定理就可以得出结论；
（2）延长AC到G使CG=BE，连结DG可以得出△DBE≌△DCG就有DE=DG，∠BDE=∠CDG，由∠BDC=120°，∠EDF=60°，可以得出∠BDE+∠CDF=60°，进而得出∠FDG=60°，就有∠EDF=∠GDF，得出△EDF≌△GDF，得出结论．
（1）①如图2，延长ED到点G使DG=ED，连结GF，GC，就有EF=GF，连结FG、CG，可证△BED≌△CDG，则CG=BE，由三角形的三边关系就可以得出结论；
②如图2，由∠A=90°就可以得出∠A+∠ACB=90°，就可以得出∠FCG=90°由勾股定理就可以得出结论；
（2）延长AC到G使CG=BE，连结DG可以得出△DBE≌△DCG就有DE=DG，∠BDE=∠CDG，由∠BDC=120°，∠EDF=60°，可以得出∠BDE+∠CDF=60°，进而得出∠FDG=60°，就有∠EDF=∠GDF，得出△EDF≌△GDF，得出结论．
解答：解：∵D是BC的中点，
∴BD=CD．
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌EDB（SAS），
∴AC=BE．
∵AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴AB-AC＜2AD＜AB+AC．
∵AB=5，AC=3，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4．
故答案为：1＜AD＜4；
（1））①如图2，延长ED到点G使DG=ED，连结GF，GC
∵ED⊥DF
∴EF=GF．
∵D是BC的中点，
∴BD=CD．
在△BDE和△CDG中，
，
∴△DBE≌△DCG（SAS），
∴BE=CG．
∵CG+CF＞GF，
∴BE+CF＞EF；
②如图2，∵∠A=90°，
∴∠A+∠ACB=90°．
在△BDE和△CDG中，
，
∵△DBE≌△DCG（SAS），
∴BE=CG．∠B=∠GCD，
∴∠GCD+∠ACB=90°．
即∠GCF=90°．
∴CF2+GC2=GF2，
∴BE2+CF2=EF2．
故答案为：BE2+CF2=EF2；
（2）EF=BE+CF
理由：如图3，延长AC到G使CG=BE，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCG=180°，
∴∠B=∠DCG．
在△DBE和△DCG中
，
∴△DBE≌△DCG（SAS），
∴DE=DG，∠BDE=∠CDG．
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°
∴∠BDE+∠CDF=60°，
∴∠CDG+∠CDF=60°，
∴∠EDF=∠GDF．
在△EDF和△GDF中，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=GF．
∵GF=CG+CF，
∴GF=BE+CF，
∴EF=BE+CF．
∴BD=CD．
在△ADC和△EDB中，
|
∴△ADC≌EDB（SAS），
∴AC=BE．
∵AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴AB-AC＜2AD＜AB+AC．
∵AB=5，AC=3，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4．
故答案为：1＜AD＜4；
（1））①如图2，延长ED到点G使DG=ED，连结GF，GC
∵ED⊥DF
∴EF=GF．
∵D是BC的中点，
∴BD=CD．
在△BDE和△CDG中，
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∴△DBE≌△DCG（SAS），
∴BE=CG．
∵CG+CF＞GF，
∴BE+CF＞EF；
②如图2，∵∠A=90°，
∴∠A+∠ACB=90°．
在△BDE和△CDG中，
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∵△DBE≌△DCG（SAS），
∴BE=CG．∠B=∠GCD，
∴∠GCD+∠ACB=90°．
即∠GCF=90°．
∴CF2+GC2=GF2，
∴BE2+CF2=EF2．
故答案为：BE2+CF2=EF2；
（2）EF=BE+CF
理由：如图3，延长AC到G使CG=BE，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCG=180°，
∴∠B=∠DCG．
在△DBE和△DCG中
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∴△DBE≌△DCG（SAS），
∴DE=DG，∠BDE=∠CDG．
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°
∴∠BDE+∠CDF=60°，
∴∠CDG+∠CDF=60°，
∴∠EDF=∠GDF．
在△EDF和△GDF中，
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∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=GF．
∵GF=CG+CF，
∴GF=BE+CF，
∴EF=BE+CF．
点评：本题考查了三角形的三边关系的运用，勾股定理的运用，四边形的性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
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