Question

2．如图，已知二次函数的最小值是-8，它的图象与x轴交于A（-3，0）、B（1，0）两点，一次函数y=kx+b（k＞0）的图象过点C（-1，0），且与该二次函数的图象交于P、Q两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当四边形APBQ面积为2$\sqrt{33}$时，求这个一次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的最小值是-8，它的图象与x轴交于A（-3，0）、B（1，0）两点，可以求得二次函数的顶点坐标，然后可以设出二次函数的顶点式，根据二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）、B（1，0）两点，可以求得二次函数的顶点式；
（2）由题意可得，四边形APBQ的面积等于△APB与△ABQ的面积之和，由题意可分别得到它们的面积，再根据与一次函数的关系，可以求得k的值，从而可以求得一次函数的解析式．

解答 解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）、B（1，0）两点，
∴此二次函数顶点的横坐标是：$\frac{-3+1}{2}=-1$，
∴此抛物线的顶点坐标是（-1，-8），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）²-8，
∵点A（-3，0）在二次函数的图象上，
∴0=a（-3+1）²-8，
解得a=2，
即这个二次函数的解析式是y=2（x+1）²-8；
（2）设点P的坐标是（x₁，y₁），点Q的坐标是（x₂，y₂），
∵一次函数y=kx+b（k＞0）的图象过点C（-1，0），
∴-k+b=0，得b=k，
∴y=kx+k，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+k}\\{y=2（x+1）^{2}-8}\end{array}\right.$化简，得2x²+（4-k）x-6-k=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4-k}{2}=\frac{k-4}{2}$，
又∵四边形APBQ面积为2$\sqrt{33}$，A（-3，0）、B（1，0），点P的坐标是（x₁，y₁），点Q的坐标是（x₂，y₂），
∴$2\sqrt{33}=\frac{[1-（-3）]×（-{y}_{1}+{y}_{2}）}{2}$=$\frac{4×（-k{x}_{1}-k+k{x}_{2}+k）}{2}$=-2k（x₁-x₂）
∴$k（{x}_{2}-{x}_{1}）=\sqrt{33}$，
又∵2x²+（4-k）x-6-k=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4-k}{2}=\frac{k-4}{2}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-6-k}{2}$，
解得${x}_{2}-{x}_{1}=\frac{\sqrt{{k}^{2}+64}}{2}$
∴$k•\frac{\sqrt{{k}^{2}+64}}{2}=\sqrt{33}$，
解得k=$\sqrt{2}$或k=$-\sqrt{2}$（舍去），
∴这个一次函数的解析式为：y=$\sqrt{2}x+\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，明确根与系数的关系．