Question

12．用[x]表示不超过x的最大整数，把x-[x]称为x的小数部分．已知$t=\frac{1}{{2-\sqrt{3}}}$，a是t的小数部分，b是-t的小数部分，则$\frac{1}{2b}-\frac{1}{a}$=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． 1
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 结合定义找出[t]和[-t]，由a是t的小数部分，b是-t的小数部分，表示出a、b代入$\frac{1}{2b}-\frac{1}{a}$即可得出结论．

解答 解：t=$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{（2-\sqrt{3}）（2+\sqrt{3}）}$=2+$\sqrt{3}$，
∴[t]=3，[-t]=-4．
∵是t的小数部分，b是-t的小数部分，
∴a=2+$\sqrt{3}$-3=$\sqrt{3}$-1，b=-（2+$\sqrt{3}$）-（-4）=2-$\sqrt{3}$．
$\frac{1}{2b}$-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{2（2-\sqrt{3}）}$-$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{2（2-\sqrt{3}）（2+\sqrt{3}）}$-$\frac{\sqrt{3}+1}{（\sqrt{3}-1）（\sqrt{3}+1）}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是找出a、b．本题属于基础题，难度不大，但在运算过程中用到了使用平方差公式将分母有理化，此处需要注意别出现差错．