Question

17．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）求PD的长；
（3）求PA，PD及$\widehat{AD}$围成的图形（即阴影部分）的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OA，AD，根据圆周角定理得到∠ADO=∠B=60°，∠DAC=90°，由三角形的内角和得到∠ACD=30°，根据等腰三角形的性质得到∠P=∠ACP=30°，∠ACO=∠CAO=30°，即可得到结论；
（2）由已知条件得到PA=AC=3，解直角三角形得到AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AP=$\sqrt{3}$，求得PO=2AO=2$\sqrt{3}$，于是得到结论；
（3）根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OA，AD，
∵∠B=60°，
∴∠ADO=∠B=60°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC=90°，
∴∠ACD=30°，
∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∵AO=OC，
∴∠ACO=∠CAO=30°，
∴∠PAC=120°，∴∠PAO=90°，
∴AP是⊙O的切线；

（2）解：∵AC=3
∴PA=AC=3，
∴AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AP=$\sqrt{3}$，
∴PO=2AO=2$\sqrt{3}$，
∴PD=PO-OD=$\sqrt{3}$；

（3）解：S_阴影=S_△AOP-S_扇形AOD=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$-$\frac{60π•（\sqrt{3}）^{2}}{360}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定，扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．