Question

20．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm．    
（1）求圆锥形纸杯的侧面积．
（2）若在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，求此蚂蚁爬行的最短距离．

Answer 1

分析 （1）根据扇形的面积公式计算即可得到结果；
（2）要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，求出EA长即可，在Rt△EOA中，OA=8，0E=10，根据勾股定理求出AE，即可得出结果．

解答 解：（1）S_{圆锥的侧面积}=$\frac{1}{2}$×10×10π=50π；

（2）圆锥侧面沿母线OF展开可得下图：
则$\widehat{EF}$=圆锥底面周长的一半=$\frac{1}{2}$×10π=$\frac{10nπ}{180}$，
∴n=90，即∠EOF=90°，
在Rt△AOE中，OA=8cm，OE=10cm，
根据勾股定理可得：AE=2$\sqrt{41}$cm，
所以蚂蚁爬行的最短距离为2$\sqrt{41}$cm．

点评 本题考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．