Question

15．已知：直线y=-x+6与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于第一象限P，Q两点．
（1）若点P的横坐标为2，求k的值，并直接写出不等式-x+6＞$\frac{k}{x}$的解集；
（2）若△OPQ（O为坐标原点）为等边三角形，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由于直线y=-x+6与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于第一象限P，Q两点，点P的横坐标为2，代入y=-2+6=4，求得P（2，4），于是得到k=8，解方程组得到Q（4，2），即可得到结论；
（2）由于直线y=-x+6与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于第一象限P，Q两点，解方程组求得P、Q的坐标，根据两点间的距离公式得PQ=$\sqrt{72-8k}$，OQ=OP=$\sqrt{36-2k}$，根据等边三角形的边相等列方程求得结果．

解答 解：（1）∵直线y=-x+6与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于第一象限P，Q两点，点P的横坐标为2，
∴y=-2+6=4，
∴P（2，4），
∴4=$\frac{k}{2}$，
∴k=8，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{8}{x}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴Q（4，2），
∴不等式-x+6＞$\frac{k}{x}$的解集：2＜x＜4；

（2）∵直线y=-x+6与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于第一象限P，Q两点，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3+\sqrt{9-k}}\\{{y}_{1}=3-\sqrt{9-k}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3-\sqrt{9-k}}\\{{y}_{2}=3+\sqrt{9-k}}\end{array}\right.$，
根据两点间的距离公式得PQ=$\sqrt{72-8k}$，OQ=OP=$\sqrt{36-2k}$，
∵△OPQ为等边三角形，
∴PQ=OQ=OP，
∴$\sqrt{72-8k}$=$\sqrt{36-2k}$，
解得：k=6．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，两点间的距离公式，等边三角形的性质，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．