如图.四边形ABCD.BEFG均为正方形．(1)如图1.连接AG.CE.试判断AG和CE的关系并证明．(2)将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角..如图2.连接AG.CE相交于点M.连接BM.当角β发生变化时.∠EMB的度数是否发生变化.若不变化.求出∠EMB的度数,若发生变化.请说明理由．的条件下.过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N.请直接写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形．
（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的关系并证明．
（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角，（0＜β＜180），如图2，连接AG，CE相交于点M，连接BM，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化，若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM和BN的数量关系CM=$\sqrt{2}$BN．

分析（1）AG=EC，AG⊥EC，理由为：由正方形BEFG与正方形ABCD，利用正方形的性质得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS得出三角形ABG与三角形CBE全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到CE=AG，∠BCE=∠BAG，再利用同角的余角相等即可得证；
（2）∠EMB的度数为45°，理由为：过B作BP⊥EC，BH⊥AM，利用SAS得出三角形ABG与三角形BEC全等，由全等三角形的面积相等得到两三角形面积相等，而AG=EC，可得出BP=BH，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上得到BM为角平分线，再由∠BAG=∠BCE，及一对对顶角相等，得到∠AMC为直角，即∠AME为直角，利用角平分线定义即可得证；
（3）CM=$\sqrt{2}$BN，在AN上截取NQ=NB，可得出三角形BNQ为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到BQ=$\sqrt{2}$BN，接下来证明BQ=CM，即要证明三角形ABQ与三角形BCM全等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由三角形ANM为等腰直角三角形得到NA=NM，利用等式的性质得到AQ=BM，利用SAS可得出全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．

解答解：（1）AG=EC，AG⊥EC，理由为：
如图1，

∵正方形BEFG，正方形ABCD，
∴GB=BE，∠ABG=90°，AB=BC，∠ABC=90°，
在△ABG和△BEC中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=BE}\\{∠ABC=∠EBC=90°}\\{BA=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△BEC（SAS），
∴CE=AG，∠BCE=∠BAG，
延长CE交AG于点M，
∴∠BEC=∠AEM，
∴∠ABC=∠AME=90°，
∴AG=EC，AG⊥EC；

（2）∠EMB的度数不发生变化，∠EMB的度数为45°，
理由为：
如图2，

过B作BP⊥EC，BH⊥AM，
在△ABG和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABG=∠CBE}\\{BG=EB}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CEB（SAS），
∴S_△ABG=S_△EBC，AG=EC，
∴$\frac{1}{2}$EC•BP=$\frac{1}{2}$AG•BH，
∴BP=BH，
∴MB为∠EMG的平分线，
∵∠AMC=∠ABC=90°，
∴∠EMB=$\frac{1}{2}$∠EMG=$\frac{1}{2}$×90°=45°；
（3）CM=$\sqrt{2}$BN，
理由为：
如图3，

在NA上截取NQ=NB，连接BQ，
∴△BNQ为等腰直角三角形，即BQ=$\sqrt{2}$BN，
∵∠AMN=45°，∠N=90°，
∴△AMN为等腰直角三角形，即AN=MN，
∴MN-BN=AN-NQ，即AQ=BM，
∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°，
∴∠MBC=∠BAN，
在△ABQ和△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{AQ=BM}\\{∠BAN=∠MBC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△BCM（SAS），
∴CM=BQ，
则CM=$\sqrt{2}$BN．
故答案为：CM=$\sqrt{2}$BN．