Question

6．在平面直角坐标系中，已知点P是反比例函数y=-$\frac{2\sqrt{3}}{x}$图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
（1）当⊙P运动到与x轴也相切于K点时，如图1，试判断四边形OAPK的形状，并说明理由；
（2）当⊙P运动到与x轴相交于B、C两点时，且四边形ACBP为菱形，如图2，求A、B、C三点的坐标．

Answer 1

分析 （1）先利用切线的性质得出四边形OAPK是矩形，再判断出PA=PK即可得出结论；
（2）设出点P的坐标，利用菱形的性质和圆的性质得出△PBC是等边三角形，即可求出m的值，进而得出A的坐标，再利用勾股定理求出OC即可得出C的坐标，最后得出B的坐标．

解答 解：（1）四边形OAPK是正方形，
理由：∵P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
∴∠OAP=90°，
∵⊙P运动到与x轴也相切于K点，
∴∠OKP=90°，
∵∠AOK=90°，
∴∠OAP=∠AOK=∠OKP=90°，
∴四边形OAPK是矩形，
∵⊙P和x，y轴都相切，
∴AP=KP，
∴矩形OAPK是正方形．
（2）如图，设P（m，-$\frac{2\sqrt{3}}{m}$），
连接PC，过点P作PD⊥BC于D，
∴PB=PC，
∵四边形ACBP为菱形，
∴PA=PB=BC=|m|=-m，
∴PB=PC=BC=-m，
∴△PBC是等边三角形，
在Rt△PBD中，BD=$\frac{1}{2}$BC=-$\frac{1}{2}$m，
∴PD=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∵P（m，-$\frac{2\sqrt{3}}{m}$），
∴-$\frac{2\sqrt{3}}{m}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∴m=2（舍）或m=-2，
∴P（-2，$\sqrt{3}$），
∴AP=2，A（0，$\sqrt{3}$）．
∴OA=$\sqrt{3}$，
在Rt△AOC中，AC=AP=2，
∴OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=1，
∴C（-1，0），OB=BC+OC=AP+OC=3，
∴B（-3，0），
即：A（0，$\sqrt{3}$）．B（-3，0），C（-1，0）．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了正方形，矩形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，切线的性质，解本题的关键是得出点P的坐标，是一道比较简单的涉及知识点比较多的综合题．