如图.在边长为6的正方形ABCD中.动点 P从A出发.以每秒1个单位长度的速度沿AD方向运动.点Q从点D同时出发.以相同的速度向 AD方向运动.当点P运动到点D时.点Q也停止运动.过点Q作CD的平行线l.连接BP.过点P作PF⊥PB.交直线l于点F.连接PF.设P点运动的时间为t．(1)求∠PBF的度数,(2)若△BPE为等腰三角形.直接写出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．如图，在边长为6的正方形ABCD中，动点 P从A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AD方向运动，点Q从点D同时出发，以相同的速度向 AD方向运动，当点P运动到点D时，点Q也停止运动，过点Q作CD的平行线l，连接BP，过点P作PF⊥PB，交直线l于点F，连接PF，设P点运动的时间为t．
（1）求∠PBF的度数；
（2）若△BPE为等腰三角形，直接写出符合条件的t的值；
（3）当点P出发1秒时，求线段PE的长．

分析（1）先判断出AB=PQ，用同角的余角相等得出∠ABP=∠QPF，进而得出△BAP≌△PQF，即可判断出三角形BPF是等腰直角三角形即可；
（2）分三种情况，用三角形全等、角平分线定理和由运动的特点即可判断出结论；
（3）先判断出DGFQ是边长为1的正方形，再用相似三角形的性质得出EG，进而得出DE，最后用勾股定理即可求出结论．

解答解：（1）由运动知，AP=DQ，
∴PQ=PD+DQ=PD+AP=AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∴AB=PQ，
∵FQ⊥AD，
∴∠PQF=∠BAD=90°，
∴∠APB+∠ABP=90°，
∵AP⊥PF，
∴∠APB+∠FPQ=90°，
∴∠ABP=∠QPF，
在△BAP和△PQF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABP=∠QPF}\\{AB=PQ}\\{∠BAP=∠PQF}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△PQF，
∴PB=PF，AP=FQ=t，
∴△BPF是等腰直角三角形，
∴∠PBF=45°，
（2）如图，

连接BD，
当BP=BE时，
在Rt△ABP和Rt△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{BP=BE}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABP≌Rt△CBE，
∴∠ABP=∠CBE，
∵∠ABP+∠CBE=45°，
∴∠ABP=22.5°，
∵∠ABD=45°，
∴∠DBPP=22.5°=∠ABP，
∴AP是∠BAC的平分线，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AP}{DP}$
∵BD=$\sqrt{2}$AB，AP=t，PD=AD-AP=6-t，
∴$\frac{AB}{\sqrt{2}AB}=\frac{t}{6-t}$，
∴t=6（$\sqrt{2}$-1），
当PB=PE时，由（1）知，PB=PF，
∴点F，E重合，
即：点E，F，D重合，点P和A重合，
此时，t=0，
当EB=EP时，∠BPE=∠EBP=45°，
∴∠BEP=90°，
∴点F和点D重合，
此时，点P和点D重合，
∴AP=AD=6，
∴t=6÷1=6．
即：当△PBE为等腰三角形时，t的值为0或6（$\sqrt{2}$-1）或6；
（3）如图1，过点F作FG⊥CD，
∴∠DGF=90°，
∵∠GDQ=∠FQD=90°，
∴四边形DGFQ是矩形，
由运动知，AP=DQ=FQ=1，
∴矩形DGFQ是边长为1的正方形，
∴DG=1，
∴CG=CD-DG=5，
∵BC∥FG，
∴△BCE∽△FGE，
∴$\frac{BC}{FG}=\frac{CE}{GE}$，
∴$\frac{CE}{GE}=\frac{6}{1}$，
∴EG=$\frac{1}{7}$CG=$\frac{5}{7}$，
∴DE=DG+EG=1+$\frac{5}{7}$=$\frac{12}{7}$，
在Rt△EDP中，DP=AD-AP=5，
∴PE=$\sqrt{D{P}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{37}{7}$．