题目内容
20．如图，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为BC边上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．
（1）如图1，若AB=AC，∠BAC=90°，当点D在线段BC上时（不与点B重合），证明：△ACF≌△ABD
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，猜想CF与BD的数量关系和位置关系是什么，并说明理由；
（3）如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°，点D在线段BC上运动（不与点B重合），试探究CF与BD位置关系．
分析 （1）根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等，
（2）先求出∠CAF=∠BAD，然后与①的思路相同求解即可；
（3）过点A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF⊥BD．
解答 解：（1）∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，
∴∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠CAF=∠BAD}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
（2）∵∠CAB=∠DAF=90°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠CAF=∠BAD}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD；
（2）如图，
过点A作AE⊥AC交BC于E，
∵∠BCA=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC=AE，∠AED=45°，
∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，
∴∠CAF=∠EAD，
在△ACF和△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠CAF=∠EAD}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△AED（SAS），
∴∠ACF=∠AED=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD．
点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键，此类题目的特点是各小题求解思路一般都相同．
优学名师名题系列答案
如图，已知：在△ABC中，∠B=60°，∠BAC=70°，AD⊥BC于D，∠CAD=40°．
如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，P是直线AB上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，B′A长度的最小值是m，B′A长度的最大值是n，则m+n的值等于16．
如图，△ABC的中线BE、CF交于点O，直线AD∥BC，与CF的延长线交于点D，则S△AEF：S△AFD为（ ）| A． | 1：2 | B． | 3：2 | C． | 2：3 | D． | 3：4 |
