如图.以长方形OABC的顶点O为原点.OA所在直线为x轴.OC所在直线为y轴.建立平面直角坐标系．已知OA=3.OC=2.点E是AB的中点.在OA上取一点D.连结BD.点A关于BD的对称点恰好落在线段BC边上的点F处．(1)直接写出点E.F的坐标,(2)在线段CB上是否存在一点P.使△OEP为等腰三角形?若存在.求出所有满足条件的P点坐标,若不存在.请说明理由．(3)在x轴.y轴上是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．

如图，以长方形OABC的顶点O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，连结BD，点A关于BD的对称点恰好落在线段BC边上的点F处．
（1）直接写出点E，F的坐标；
（2）在线段CB上是否存在一点P，使△OEP为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

分析（1）△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，可以知道四边形ADFB是正方形，因而BF=AB=OC=2，则CF=3-2=1，因而E、F的坐标就可以求出．
（2）用平面坐标系中两点间的距离公式即可得出线段，再分三种情况用边相等建立方程求解即可得出结论．
（3）作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．求出线段E′F′的长度，就是四边形MNFE的周长的最小值．

解答解：（1）∵OC=2，四边形OABC是矩形，
∴AB=OC=2，
∵点E是AB的中点，
∴AE=1，
∵AO=3，
∴E（3，1），
根据折叠可得DA=DF，
∴DF=CO=2，
∴AD=2，
∴DO=3-2=1，
∴F（1，2），
（2）存在，
理由：
由（1）知，E（3，1），O（0，0）
设P（a，2）（0≤a≤3），
∴PE=$\sqrt{（a-3）^{2}+1}$，PO=$\sqrt{{a}^{2}+4}$，EO=$\sqrt{10}$，
∵△OEP为等腰三角形，
∴①当PE=PO时，∴$\sqrt{（a-3）^{2}+1}$=$\sqrt{{a}^{2}+4}$，
∴a=1，
∴P（1，2）；
②当PE=EO时，∴$\sqrt{（a-3）^{2}+1}$=$\sqrt{10}$，
∴a=0或a=6（舍），
∴P（0，2），
③当PO=EO时，∴$\sqrt{{a}^{2}+4}$=$\sqrt{10}$，
∴a=$\sqrt{6}$或a=-$\sqrt{6}$（舍），
∴P（$\sqrt{6}$，2），
即：满足条件的点P的坐标为（1，2）或（0，2）或（$\sqrt{6}$，2）．
（3）如图2，

作点E关于x轴的对称点E′，
作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别
与x轴、y轴交于点M、N，连接FN、NM、ME，
此时四边形MNFE的周长最小．
∴E′（3，-1），F′（-1，2），
设直线E′F′的解析式为y=kx+b，
有$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=-1}\\{-k+b=2}\end{array}\right.$，
解这个方程组，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线E′F′的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{4}$．
当y=0时，x=$\frac{5}{3}$，
∴M点的坐标为（$\frac{5}{3}$，0）．
当x=0时，y=$\frac{5}{4}$，
∴N点的坐标为（0，$\frac{5}{4}$）．
∵E与E′关于x轴对称，F与F′关于y轴对称，
∴NF=NF′，ME=ME′．F′B=4，E′B=3．
在Rt△BE′F′中，F'E'=$\sqrt{F'{B}^{2}+E'{B}^{2}}$=5．
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=5．
在Rt△BEF中，EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴FN+NM+ME+EF=F'E'+EF=5+$\sqrt{5}$，
即四边形MNFE的周长最小值是5+$\sqrt{5}$．