题目内容
12．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=8，AB=6，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：
①当α=0°时，$\frac{AE}{BD}$=$\frac{5}{4}$；
②当α=180°时，$\frac{AE}{DB}$=$\frac{5}{4}$．
（2）拓展探究：
试判断：当0°≤α＜360°时，$\frac{AE}{DB}$的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）问题解决：
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．
分析 （1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的$\frac{AE}{BD}$值是多少．
②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据$\frac{AC}{AE}$=$\frac{BC}{BD}$，求出$\frac{AE}{DB}$的值是多少即可．
（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据$\frac{EC}{DC}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{5}{4}$，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
（3）分两种情况分析，A、D、E三点所在直线与BC不相交和与BC相交，然后利用勾股定理分别求解即可求得答案．
解答 
解：（1）①当α=0°时，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=5，BD=$\frac{1}{2}$BC=4
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{5}{4}$．
②如图1，
当α=180°时，
可得AB∥DE，
∵$\frac{AC}{AE}$=$\frac{BC}{BD}$，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{AC}{BC}$$\frac{10}{8}$=$\frac{5}{4}$．
故答案为：①$\frac{5}{4}$，②$\frac{5}{4}$．
（2）如图2，
当0°≤α＜360°时，$\frac{AE}{DB}$的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵$\frac{EC}{DC}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{5}{4}$，
∴△ECA∽△DCB，
∴$\frac{AE}{DB}$=$\frac{EC}{DC}$=$\frac{5}{4}$．
（3）①如图3，∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{21}$，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴AE=AD+DE=2$\sqrt{21}$+3，
由（2），可得：$\frac{AE}{DB}$=$\frac{5}{4}$，
∴BD=$\frac{4}{5}$AE=$\frac{8\sqrt{21}+12}{5}$；
②如图4，∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{21}$，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴AE=AD-DE=2$\sqrt{21}$-3，
由（2），可得：$\frac{AE}{DB}$=$\frac{5}{4}$，
∴BD=$\frac{4}{5}$AE=$\frac{8\sqrt{21}-12}{5}$．
综上所述，BD的长为$\frac{8\sqrt{21}±12}{5}$．
点评 此题属于旋转的综合题．考查了、旋转的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
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