Question

15．如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边BC、CD上的点，连接PQ，若△CPQ的周长是2，求∠PAQ的度数．

Answer 1

分析 如图，延长CB使得BH=DQ，连接AH．只要证明△ADQ≌△ABH，推出∠DAQ=∠BAH，AQ=AH，由PC+CQ+PQ=2，CP+PB+CQ+QD=2，推出PQ=PB+DQ=PB+BH=PH，推出△APH≌△APQ，推出∠PAH=∠PAQ，由∠PAH=∠PAB+∠BAH=∠PAB+∠DAQ，推出∠PAQ=∠PAB+∠DAQ，由∠BAD=90°，推出∠PAQ=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°．

解答 解：如图，延长CB使得BH=DQ，连接AH．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABH=90°，
在△ADC和△ABH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠D=∠ABH}\\{DQ=BH}\end{array}\right.$，
∴△ADQ≌△ABH，
∴∠DAQ=∠BAH，AQ=AH，
∵PC+CQ+PQ=2，CP+PB+CQ+QD=2，
∴PQ=PB+DQ=PB+BH=PH，
在△APH和△APQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP}\\{∠AQ=AH}\\{PH=PQ}\end{array}\right.$，
∴△APH≌△APQ，
∴∠PAH=∠PAQ，
∵∠PAH=∠PAB+∠BAH=∠PAB+∠DAQ，
∴∠PAQ=∠PAB+∠DAQ，∵∠BAD=90°，
∴∠PAQ=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．