Question

6．已知二次函数y=ax²+2ax-（a+m）的图象经过点P（2，5），交x轴于点A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜0＜x₂，满足OA=3OB，求此二次函数的解析式．

Answer 1

分析 由于x₁＜0＜x₂，OA=3OB，则-x₁=3x₂，再由根与系数的关系得到x₁+x₂=-2，则可解出x₂=1，x₁=-3，即A（-3，0），B（1，0），然后设交点式y=a（x+3）（x-1），再把P点坐标代入求出a即可．

解答 解：∵x₁＜0＜x₂，OA=3OB，
∴-x₁=3x₂，即x₁=-3x₂，
∵x₁+x₂=-$\frac{2a}{a}$=-2，
∴-3x₂+x₂=-2，解得x₂=1，
∴x₁=-3x₂=-3，
∴A（-3，0），B（1，0），
设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），
把P（2，5）代入得a•5•1=-5，
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+3）（x-1）=x²+2x-3．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了根与系数的关系．