Question

15．如图，AB∥CD，EF交AB于点E，交CD于点F，FG，EG分别平分∠CFE和∠AEF，FH，EH分别平分∠DFE和∠BEF，求证：四边形EGFH是矩形．

Answer 1

分析 根据平行线的性质可得∠AEF+∠CFE=180°，再根据角平分线的性质可得∠1=$\frac{1}{2}$∠AEF，∠2=$\frac{1}{2}$∠CFE，然后可证明∠G=90°，同理可得∠H=90°，再证明∠2+∠EFD=90°，可根据三个角是直角的四边形是矩形．

解答 证明：∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∵EG分别平分∠CFE和∠AEF，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠AEF，∠2=$\frac{1}{2}$∠CFE，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠G=90°，
同理可得∠H=90°，
∵FH平分∠EFD，
∴∠EFH=$\frac{1}{2}$∠EFD，
∴∠2+∠EFD=$\frac{1}{2}$∠CFE+$\frac{1}{2}$∠EFD=90°，
∴四边形EGFH是矩形．

点评 此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定定理：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）．