Question

7．为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是（　　）

• A． $\frac{3+\sqrt{6}}{4}$km²
• B． $\frac{3-\sqrt{6}}{4}$km²
• C． $\frac{6+\sqrt{3}}{4}$km²
• D． $\frac{6-\sqrt{3}}{4}$km²

Answer 1

分析 把图形切割成规则的几何图形，然后计算出不规则小区的面积．

解答 解：过点D做DE⊥AB，垂足为E，过点C做CF⊥AB，垂足为F，过点D做DG⊥CF，垂足为G．
设AE的长为xkm．
在Rt△AED中，由于∠A=45°，所以DE=AE=xkm．
在Rt△BCF中，由于∠B=60°，BC=1，所以∠BCF=30°，BF=$\frac{1}{2}$，CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
在Rt△CGD中，由于∠DCG=105°-30°=75°，所以∠CDG=15°．
在矩形DEFG中，EF=DG=$\frac{3}{2}-a$，DE=FG=xkm，CG=CF-GF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-a．
在Rt△CGD中，tan∠CDG=$\frac{CG}{DG}$，即tan15°=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-a}{\frac{3}{2}-a}$
因为tan15°=2-$\sqrt{3}$，所以$\frac{\sqrt{3}}{2}-a=（2-\sqrt{3}）（\frac{3}{2}-a）$
解得：a=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$
S_小区=S_△AED+S_梯形DEFC+S_△CFB
=$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$（a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）（$\frac{3}{2}$-a）+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$）²+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{6-\sqrt{3}}{4}$．
故选D．

点评 本题考查了直角三角形的面积和梯形的面积及根式的加减，解决本题的关键是把不规则的四边形切割成直角三角形和梯形，充分利用特殊角60°和45°..