Question

12．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿A边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．
（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？
（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？
（3）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点B即停止运动），是否存在一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积？若存在求出这个时刻的t 值，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）设经过t秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，根据题意得：AP=t，BP=6-t，BQ=2t，由，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一列式可得求出t的值；
（2）在Rt△PQB中，根据勾股定理列方程即可；
（3）分两种情况：①当PQ平分△ABC面积时，计算出这时的t=5-$\sqrt{13}$，同时计算这时PQ所截△ABC的周长是否平分；②当PQ平分△ABC周长时，计算出这时的t=$\frac{2}{3}$，此时△PBQ的面积是否为$\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，计算即可．

解答 解：（1）设经过t秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，
由题意得：AP=t，BP=6-t，BQ=2t，
$\frac{1}{2}$×2t×（6-t）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×6×8，
解得：t=2或4，
∵0≤t≤4，
∴t=2或4符合题意，
答：经过2或4秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一；
（2）在Rt△PQB中，PQ²=BQ²+PB²，
∴6²=（2t）²+（6-t）²，
解得：t₁=0（舍），t₂=$\frac{12}{5}$，
答：$\frac{12}{5}$秒钟后，P、Q相距6厘米；
（3）由题意得：PB=6-t，BQ=8-2t，
分两种情况：
①当PQ平分△ABC面积时，
S_△PBQ=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
$\frac{1}{2}$（6-t）（8-2t）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×8×6，
解得：t₁=5+$\sqrt{13}$，t₂=5-$\sqrt{13}$，
∵Q从C到B，一共需要8÷2=4秒，5+$\sqrt{13}$＞4，
∴t₁=5+$\sqrt{13}$不符合题意，舍去，
当t₂=5-$\sqrt{13}$时，AP=5-$\sqrt{13}$，BP=6-（5-$\sqrt{13}$）=1+$\sqrt{13}$，BQ=8-2（5-$\sqrt{13}$）=2$\sqrt{13}$-2，CQ=2（5-$\sqrt{13}$）=10-2$\sqrt{13}$，
PQ将△ABC的周长分为两部分：
一部分为：AC+AP+CQ=10+5-$\sqrt{13}$+10-2$\sqrt{13}$=25-3$\sqrt{13}$，
另一部分：PB+BQ=1+$\sqrt{13}$+2$\sqrt{13}$-2=3$\sqrt{13}$-1，
25-3$\sqrt{13}$≠3$\sqrt{13}$-1，
②当PQ平分△ABC周长时，
AP+AC+CQ=PB+BQ，
10+2t+t=6-t+8-2t，
t=$\frac{2}{3}$，
当t=$\frac{2}{3}$时，PB=6-$\frac{2}{3}$=$\frac{16}{3}$，
BQ=8-2×$\frac{2}{3}$=$\frac{20}{3}$，
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{16}{3}$×$\frac{20}{3}$=$\frac{160}{3}$≠12，
综上所述，不存在这样一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积．

点评 本题是动点运动问题，在三角形中的动点问题，首先要确定两个动点的：路线、路程、速度、时间，表示出时间为t时的路程是哪一条线段的长，根据已知条件列等式或方程，解出即可．