Question

19．请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$…$\frac{1}{9×10}$=$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$
所以：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{9×10}$
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$）
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$
=1-$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{10}$
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
（2）利用你的结论求：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2011×2012}$．

Answer 1

分析 （1）根据题目中的信息，发现分母是两个连续的自然数的积，等于这两个数倒数的差，即$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
（2）根据题目中的信息，可以计算出所求式子的结果．

解答 解：（1）由题意可得，$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
故答案为：$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
（2）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2011×2012}$，
=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}$，
=1-$\frac{1}{2012}$，
=$\frac{2011}{2012}$．

点评 本题是数字类的规律题，考查了有理数的混合运算，解题的关键弄清：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，确立每个式子的两边是否相等，并找出所求式子中互为相反数的式子．