Question

10．如图，平面直角坐标系中，以M（3，0）为圆心的⊙M交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴正半轴于点C（0，4），交y轴负半轴于点D．
（1）求⊙M的半径及点A坐标；
（2）在⊙M上是否存在点P，使∠CPM=45°？若存在，在图①中画出P点位置，并直接写出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）在图②中，过点C作⊙M的切线CE交过x轴负半轴于点E，过点A作AN⊥CE于点F，交⊙M于点N，求AN的值．

Answer 1

分析 （1）连接CM，构造Rt△COM，利用勾股定理可求得结论；
（2）假设存在这样的点P，根据题意，可知△CMP为等腰直角三角形，且CM=MP=5，根据圆的方程和两点直接的距离公式列出方程组，解之即可得出点P的坐标；
（3）作MH⊥AN于H，则AH=NH，易证△AMH≌△MCO，故AH=MO，由垂径定理可证得结论．

解答 解：（1）如图①，连接CM，
在Rt△COM中，OC=4，OM=3，CM=$\sqrt{O{C}^{2}+O{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴AM=5，
∴OA=2，
∴⊙M的半径为5，A（-2，0）；

（2）假设存在这样的点P（x，y），结合题意，
可得△CMP为等腰直角三角形，且CM=PM=5，
故CP=5$\sqrt{2}$；
结合题意有，
$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+{y}^{2}=25}\\{{x}^{2}+（y-4）^{2}=50}\end{array}\right.$；
解之得：
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=7}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$、$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
即存在两个这样的点P；
P₁（7，3），P₂（-1，-3）；

（3）证明：如图2，连接CM，作MH⊥AN于H，
则AH=HN，
∵EC切⊙M，
∴∠ECM=90°，
∴四边形DMCF是矩形，
∴∠CMH=90°，
在△AMH和△MCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMO=∠MAH=90°-∠AMH}\\{∠COM=∠ADM=90°}\\{CM=AM}\end{array}\right.$
∴△AMH≌△MCO，
∴AH=M0=3，
即AN=HN+AH=3+3=6．

点评 本题主要考查的是垂径定理的应用和切线与圆之间的性质关系，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，方程组的解法，综合性强，能够熟练掌握垂径定理的应用和切线与圆之间的性质关系是解题的关键．