Question

11．如图所示，在直角△ABC中，∠B=90°，BC=5$\sqrt{3}$，∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE=DF．
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t的值；如果不能，说明理由．
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形，∠EDF=90°？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠DFC=90°，∠C=30°，证出DF=t=AE；
（2）先证明四边形AEFD为平行四边形．得出AB=5，再求出AC=2AB=10，AD=AC-DC=10-2t，若△DEF为等边三角形，则?AEFD为菱形，得出AE=AD，t=10-2t，求出t=$\frac{10}{3}$；
（3）当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．根据含30度角直角三角形的性质得到等量关系：AD=2AE．即10-2t=2t．由此求得t的值．

解答 解：（1）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF；
（2）能； 理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵AB=BC•tan30°=5$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=5，
∴AC=2AB=10，
∴AD=AC-DC=10-2t，
若使△DEF能够成为等边三角形，
则平行四边形AEFD为菱形，则AE=AD，
∴t=10-2t，
∴t=$\frac{10}{3}$；
即当t=$\frac{10}{3}$时，△DEF为等边三角形；

（3）当t=$\frac{5}{2}$时，△DEF为直角三角形；理由如下：
当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE．即10-2t=2t，
∴t=$\frac{5}{2}$．
∴当t=$\frac{5}{2}$时，△DEF为直角三角形．

点评 本题综合考查了平行四边形、菱形、矩形的判定与性质以及锐角三角函数的知识；考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．