Question

2．如图，?ABCD中，AB=2cm，AC=5cm，S_?ABCD=8cm²，E点从B点出发，以1cm每秒的速度，在AB延长线上向右运动，同时，点F从D点出发，以同样的速度在CD延长线上向左运动，运动时间为t秒．
（1）在运动过程中，四边形AECF的形状是平行四边形；
（2）t=1时，四边形AECF是矩形；
（3）求当t等于多少时，四边形AECF是菱形．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB=CD=2cm，AB∥CD，由已知条件得出CF=AE，即可得出四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是矩形，则∠AFC=90°，得出AF⊥CD，由平行四边形的面积得出AF=4cm，在Rt△ACF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）当AE=CE时，四边形AECF是菱形．过C作CG⊥BE于G，则CG=4cm，由勾股定理求出AG，得出GE，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）四边形AECF是平行四边形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=2cm，AB∥CD，
∴CF∥AE，
∵DF=BE，
∴CF=AE，
∴四边形AECF是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
（2）t=1时，四边形AECF是矩形；理由如下：
若四边形AECF是矩形，
∴∠AFC=90°，
∴AF⊥CD，
∵S_?ABCD=CD•AF=8cm²，
∴AF=4cm，
在Rt△ACF中，AF²+CF²=AC²，
即4²+（t+2）²=5²，
解得：t=1，或t=-5（舍去），
∴t=1；故答案为：1；
（3）依题意得：AE平行且等于CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
故AE=CE时，四边形AECF是菱形．
又∵BE=tcm，
∴AE=CE=t+2（cm），
过C作CG⊥BE于G，如图所示：
则CG=4cmcm，
∵AG=$\sqrt{A{C}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3（cm），
∴GE=t+2-3=t-1（cm），
在△CGE中，由勾股定理得：CG²+GE²=CE²=AE²，
即4²+（t-1）²=（t+2）²，
解得：t=$\frac{13}{6}$，
即t=$\frac{13}{6}$s时，四边形AECF是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的判定、矩形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．