Question

2．如图1所示，点E、F在线段AC上，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F；DE，BF分别在线段AC的两侧，且AE=CF，AB=CD，BD与AC相交于点G．
（1）求证：EG=GF；
（2）若点E在F的右边，如图2时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．
（3）若点E、F分别在线段CA的延长线与反向延长线上，其余条件不变，（1）中结论是否成立？（要求：在备用图中画出图形，直接判断，不必说明理由）

Answer 1

分析 （1）先利用HL证明Rt△ABF≌Rt△CDE，从而得到ED=FB，然后再根据AAS证明△BFG≌△DGE，从而可证得EG=FG；
（2）先证AF=EC，然后利用HL证明Rt△ABF≌Rt△CDE，从而得到BF=DE，然后利用AAS证明△BFG≌△DGE，从而可得到EG=FG；
（3）先根据要求画出图形，然后依据HL证明Rt△ABF≌Rt△CDE，从而得到BF=DE，然后利用AAS证明△BFG≌△DGE，从而可得到EG=FG．

解答 解：（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEG=∠BFE=90°．
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF．
∴AF=CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AF=CE}\end{array}\right.$
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE．
在△BFG和△DEG中$\left\{\begin{array}{l}{∠BFG=∠DEG}\\{∠BGF=∠DGE}\\{BF=DE}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△DGE（AAS）．
∴EG=FG．
（2）解：（1）中结论依然成立．
理由如下：∵AE=CF，
∴AE-EF=CF-EF．
∴AF=CE．
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEG=∠BFE=90°．
在Rt△ABF和Rt△CDE中$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）．
∴BF=DE．
在△BFG和△DEG中$\left\{\begin{array}{l}{BFG=∠DEG}\\{∠BGF=∠DGE}\\{BF=DE}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△DGE（AAS）．
∴EG=FG．
（3）（1）中结论依然成立．
如图所示：

理由如下：∵AE=CF，
∴AE+ACEF=CF+AC．
∴AF=CE．
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEG=∠BFE=90°．
在Rt△ABF和Rt△CDE中$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）．
∴BF=DE．
在△BFG和△DEG中$\left\{\begin{array}{l}{BFG=∠DEG}\\{∠BGF=∠DGE}\\{BF=DE}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△DGE（AAS）．
∴EG=FG．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，证得Rt△ABF≌Rt△CDE、△BFG≌△DGE是解题的关键．